Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圓O以BC為直徑，平面ABCD垂直于半圓O所在的平面，P為半圓周上任意一點（與B、C不重合）．

（1）求證：平面PAC⊥平面PAB；
（2）若P為半圓周中點，求此時二面角P﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵半圓O以BC為直徑，

∴PC⊥PB，

∵平面ABCD垂直于半圓O所在的平面，ABCD是矩形，

∴AB⊥底面BPC，則AB⊥PC，

∵AB∩BP=B，

∴PC⊥面PAB，

∵PC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PAB，

（2）解：連接OP，作OE垂直BC，建立以O為坐標原點，OP，OE，OC分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：

則P（1，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），A（0，﹣1，1）

=（﹣1，﹣1，1）， =（﹣1，1，0），

則平面ACD的一個法向量為 =（1，0，0），

設 =（x，y，z）是平面PAC的法向量，

則 ，

令x=1，則y=1，z=2，即 =（1，1，2），

cos＜ ， ＞= = = ，

∵二面角P﹣AC﹣D是鈍二面角，

∴二面角P﹣AC﹣D的余弦值是﹣ ．

【解析】（1）根據面面垂直的判定定理證明PC⊥面PAB即可證明平面PAC⊥平面PAB；（2）連接OP，作OE垂直BC，建立以O為坐標原點的空間直角坐標系如圖：求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可二面角P﹣AC﹣D的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．