Question

已知y=f（x）的定義域為R，且對任意的實數x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2^sinx=0成立．
（1）試求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在[-

π

2

，

π

2

]的單調性，并用單調性定義予以證明；
（3）若f(x)=

3 2

2

，求滿足條件的所有實數x的集合．

Answer 1

分析：（1）由題意可得2f（-x）+f（x）-3•2^sin（-x）=0，聯立消去f（-x），可得函數解析式；
（2）可判函數單調遞增，用單調性的定義法可證明；
（3）由（2）可知函數在[

π

2

，

3π

2

]上單調遞減，周期為2π，進而可得sinx=

1

2

，由三角函數的值可解．

解答：解：（1）∵2f（x）+f（-x）-3•2^sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3•2^sin（-x）=0，
聯立消去f（-x），可得f(x)=21+sinx-

1

2sinx

；
（2）f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上單調遞增，
證明：任意x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，設x₁＜x₂，則

f(x1)-f(x2)=(21+sinx1- 1 2sinx1 )-(21+sinx2- 1 2sinx2 ) =2(2sinx1-2sinx2)+( 1 2sinx2 - 1 2sinx1 ) =(2sinx1-2sinx2)(2+ 1 2sinx1+sinx2 )

因為x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，所以sinx₁＜sinx₂，
所以2sinx1＜2sinx2，又2sinx1+sinx2＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上單調遞增．
（3）由（2）過程容易知道，f（x）在[

π

2

，

3π

2

]上單調遞減，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期為2π的周期函數．
設t=2^sinx，則t∈（0，2]，由2t-

1

t

=

3 2

2

，解得t=

2

或t=-

2

4

（舍）．
所以2sinx=

2

=2

1

2

，sinx=log22

1

2

=

1

2

，
故x=

π

6

+2kπ，k∈Z，或x=

5π

6

+2kπ，k∈Z．
故滿足條件的所有實數x的集合為{x|x=

π

6

+2kπ，或x=

5π

6

+2kπ，k∈Z}．

點評：本題考查函數解析式的求法，以及函數單調性的判斷與證明，屬中檔題．