Question

是否存在a、b、c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

12

（an²+bn+c）．

Answer 1

分析：首先假設存在a、b、c使題設的等式成立，令n=1，2，3，可求得a、b、c的值，令S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
用數學歸納法予以證明即可．

解答：解：假設存在a、b、c使題設的等式成立，
這時令n=1，2，3，有

4= 1 6 (a+b+c) 22= 1 2 (4a+2b+c) 70=9a+3b+c

解得：

a=3 b=11 c=10

．
于是，對n=1，2，3下面等式成立
1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

12

(3n2+11n+10)
記S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
證明：①由前面可知，當n=1時，等式成立，
②設n=k時上式成立，即S_k=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）
那么S_k+1=S_k+（k+1）（k+2）²=

k(k+1)

12

（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

12

[3（k+1）²+11（k+1）+10]
也就是說，等式對n=k+1也成立．
綜上所述，當a=3，b=11，c=10時，題設對一切自然數n均成立．

點評：本題考查數學歸納法，首先要求得a、b、c的值，考查方程思想，其次再用數學歸納法證明，證明時的難點在n=k+1，注意項數的變化與理解，屬于難題．