Question

已知定義在實數集上的函數y=f(x)滿足條件:對于任意的x、y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證:f(0)=0;

(2)求證:f(x)是奇函數,試舉出兩個這樣的函數;

(3)若當x＞0時,f(x)＜0.

①試判斷函數f(x)在R上的單調性,并證明之;

②判斷函數|f(x)|=a所有可能的解的個數,并求出對應的a的范圍.

Answer 1

解析:(1)證明:令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.?

(2)證明：令y=-x,則f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數;?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x₁、x₂∈R,且x₁＜x₂,則x₂-x₁＞0.?

f(x₂-x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁)＜0.?

∴f(x₂)＜f(x₁).

∴函數f(x)為(-∞,+∞)上的減函數.?

②顯然本題中的函數f(x)在R上單調遞減,f(0)=0,所以|f(x)|≥0,判定|f(x)|=a的解的個數也就是判定y=|f(x)|與y=a的圖象交點個數.

當a＞0時，有兩解；?

當a=0時，有一解；?

當a＜0時，無解.

答案:(1)令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0).?

(2)令y=-x,則f(0)=f(-x)+f(x),?

即f(-x)=-f(x),?

故f(x)為奇函數.?

例如:y=-2x,y=3x.?

(3)①任取x₁＜x₂,則x₂-x₁＞0,?

f(x₂-x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂)-f(x₁)＜0,?

則f(x₂)＜f(x₁),?

所以該函數f(x)為(-∞,+∞)上的單調減函數.

②當a＞0時,有兩解;

當a=0時,有一解;

當a＜0時,無解.