Question

(本小題12分)
已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)見解析；(2) 不存在

(1)先求出，然后再分和三種情況研究其在區(qū)間上的單調(diào)性.
(2)本小題所給條件曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直實(shí)質(zhì)是研究方程有實(shí)數(shù)解.然后利用導(dǎo)數(shù)研其單調(diào)性和最值，畫出圖像從圖像上可分析判斷是否有實(shí)數(shù)解.
解;
①若則,在上單調(diào)遞增
②若,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
③若,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(2),由(1)易知,當(dāng)時,在上的最小值:
即時,又,
曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價于方程有實(shí)數(shù)解.
而,即方程無實(shí)數(shù)解,故不存在.