Question

給出下列命題：
（1）等比數列{a_n}的公比為q，則“q＞1”是“an+1＞an(n∈N*)”的既不充分也不必要條件；
（2）“x≠1”是“x²≠1”的必要不充分條件；
（3）函數的y=lg（x²+ax+1）的值域為R，則實數-2＜a＜2；
（4）“a=1”是“函數y=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”的充要條件．
其中真命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據等比數列的性質及遞增數列的定義，結合充要條件的定義可判斷（1）的真假；
分別判斷“x≠1”⇒“x²≠1”與“x²≠1”⇒“x≠1”的真假，結合充要條件的定義可判斷（2）的真假；
根據函數的y=lg（x²+ax+1）的值域為R，則真數可取任意正數，其最小值不大于0，求出a的范圍，可判斷（3）的真假；
根據倍角公式及三角函數的周期，結合充要條件的定義可判斷（4）的真假；

解答：解：若首項為負，則公比q＞1時，數列為遞減數列an+1＜an(n∈N*)，當an+1＞an(n∈N*)時，包含首項為正，公比q＞1和首項為負，公比0＜q＜1兩種情況，故（1）正確；
“x≠1”時，“x²≠1”在x=-1時成立，“x²≠1”時，“x≠1”一定成立，故（2）正確
函數的y=lg（x²+ax+1）的值域為R，則x²+ax+1=0的△=a²-4≥0，解得-2≤a≤2，故（3）錯誤；
“a=1”時，“函數y=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期為π”，但“函數y=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”時，“a=±1”，故“a=1”是“函數y=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”的充分不必要條件，故（4）錯誤
故選B

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了充要條件的定義，熟練掌握充要條件的定義及證明方法是解答的關鍵．