Question

. 已知函數f(x)=ax²+ax和g(x)=x-a,其中a??R且a??0．

（1）若函數f(x)與g(x)的圖像的一個公共點恰好在x軸上,求的值；

（2）若函數f(x)與g(x)圖像相交于不同的兩點A、B,O為坐標原點,試問：△OAB的面積S有沒有最值?如果有,求出最值及所對應的的值；如果沒有,請說明理由．

（3）若p和q是方程f(x)=g(x)的兩根,且滿足0<p<q<,證明：當x??(0,p)時,g(x)<f(x)<p-a.．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 當時，有最大值，無最小值  （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）設函數圖像與x軸的交點坐標為(,0).

∵點（，0）也在函數的圖像上，∴．而，∴．--4分

（Ⅱ）依題意，，即，整理，得  ，(*)

∵，函數與圖像相交于不同的兩點A、B，

∴，即△==＝(3-1)(--1)>0.∴-1<<且. -6分

設A(，)，B(，)，且<，由(*)得，=1>0, .

則==.--------8分

設點O到直線g(x)=x-a,的距離為d，則，

∴＝=.-10分

∵-1<<且,∴當時，有最大值，無最小值. ----12分

（Ⅲ）由題意可知．

,∴,

∴當時，即．--------14分

又,

∴<0, ∴.

綜上可知，．-----16分