Question

（2011•資陽(yáng)一模）函數(shù)f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的直線若能與曲線y=f（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程組求解參數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中得到的函數(shù)解析式y(tǒng)=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程
f（x）=

1

3

f′(x)+5x+m有三個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）-

1

3

f′(x)+5x+m的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，于是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)可得新函數(shù)g（x）的極值，通過(guò)判斷極值的符號(hào)可得結(jié)論．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x+3，可知極值點(diǎn)為A（1，7），B（3，3），進(jìn)而證明線段AB中點(diǎn)P（2，5）在曲線y=f（x）上，且該曲線關(guān)于點(diǎn)P（2，5）成中心對(duì)稱．

解答：解：（Ⅰ）由題意得f'（x）=3ax²-12ax+3b，f'（2）=-3，
∵圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0．
∴x=2時(shí)，y=5，即f（2）=5，
∴

12a-24a+3b=-3 8a-24a+6b+b=5

即

4a-b=1 -16a+7b=5

解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3．（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x³-6x²+9x+3，可得f'（x）=3x²-12x+9，
∴

1

3

f′(x)+5x+m=

1

3

(3x2-12x+9)+5x+m=x²+x+3+m，
則由題意可得x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三個(gè)不相等的實(shí)根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，g'（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），
則g（x），g'（x）的變化情況如下表．

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，4)	4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數(shù)f（x）的極大值為g(

2

3

)=

68

27

-m，極小值為g（4）=-16-m．（6分）
y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′(x)+5x+m的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則有：

g( 2 3 )= 68 27 -m＞0 g(4)=-16-m＜0

解得-16＜m＜

68

27

．（8分）
（Ⅲ）存在點(diǎn)P滿足條件．（9分）
∵f（x）=x³-6x²+9x+3，
∴f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f'（x）=0，得x₁=1，x₂=3．
當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞3時(shí)，f'（x）＞0．
可知極值點(diǎn)為A（1，7），B（3，3），線段AB中點(diǎn)P（2，5）在曲線y=f（x）上，且該曲線關(guān)于點(diǎn)P（2，5）成中心對(duì)稱．
證明如下：
∵f（x）=x³-6x²+9x+3，
∴f（4-x）=（4-x）³-6（4-x）²+9（4-x）+3=-x³+6x²-9x+7，
∴f（x）+f（4-x）=10．
上式表明，若點(diǎn)A（x，y）為曲線y=f（x）上任一點(diǎn)，其關(guān)于P（2，5）的對(duì)稱點(diǎn)A（4-x，10-y）也在曲線y=f（x）上，曲線y=f（x）關(guān)于點(diǎn)P（2，5）對(duì)稱．
故存在點(diǎn)P（2，5），使得過(guò)該點(diǎn)的直線若能與曲線y=f（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，這兩個(gè)封閉圖形的面積相等．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，考查了函數(shù)的對(duì)稱性，考查了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，綜合性強(qiáng)．