Question

【題目】在直角坐標系xOy中，已知直線l1：y=tanαx（0≤a＜π，α ），拋物線C： （t為參數）．以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系 （Ⅰ）求直線l1和拋物線C的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線l1和拋物線C相交于點A（異于原點O），過原點作與l1垂直的直線l2 ， l2和拋物線C相交于點B（異于原點O），求△OAB的面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線l1：y=tanαx（0≤a＜π，α ）， ∴直線l1是過原點且傾斜角為α 的直線，
其極坐標方程為θ=α（ ），
拋物線C的普通方程為y2=4x，
其極坐標方程為（ρsinθ）2=4ρcosθ，
化簡得ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅱ）由直線l1和拋物線C有兩個交點知α≠0，
把θ=α代入ρsin2θ=4cosθ，得ρA= ，
可知直線l2的極坐標方程為 ，（ρ∈R），
代入ρsin2θ=4cosθ，得ρBcos2α=﹣4sinα，
所以ρB=﹣ ，
= = ≥16，
∴△OAB的面積的最小值為16．
【解析】（Ⅰ）直線l1是過原點且傾斜角為α 的直線，拋物線C的普通方程為y2=4x，由此能求出直線l1和拋物線C的極坐標方程．（Ⅱ）由直線l1和拋物線C有兩個交點知α≠0，把θ=α代入ρsin2θ=4cosθ，得ρA= ，直線l2的極坐標方程為 ，（ρ∈R），代入ρsin2θ=4cosθ，求出ρB=﹣ ，由此能求出△OAB的面積的最小值．