Question

已知函數f(x)=

a+sinx

2+cosx

-bx（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為2680，試求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數：
（1）是否存在實數b，使得f（x）在(0，

2π

3

)為增函數，(

2π

3

，π)為減函數，若存在，求出b的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當x≥0時，都有f（x）≤0恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）第一問根據函數解析式的特征可以判斷b=0，再把函數變形后利用三角函數有界性來求解出函數的最值．
（II）第二問利用f（x）為奇函數求出a=0（1）中因為x=

2π

3

是函數的極值即f′(

2

3

π)=0得出b=0（2）先判斷函數的單調性再利用其求出函數最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否則f（x）值域為R），
∴y=f(x)=

a+sinx

2+cosx

?sinx-ycosx=2y-a?|sin(x-?)|=

|2y-a|

1+y2

≤1?3y²-4ay+a²-1≤0，
又△=4a²+12＞0，由題意有ymin+ymax=

4

3

a=2680，
∴a=2010；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數，∵x∈R，∴f（0）=0?a=0，
∴f(x)=

sinx

2+cosx

-bx，f′(x)=

2cosx+1

(2+cos)2

-b，
（1）若?b∈R，使f（x）在（0，

2

3

π）上遞增，在（

2

3

π，π）上遞減，
則f′(

2

3

π)=0，
∴b=0
并且當x∈(0，

2

3

π)時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
當x∈(

2

3

π，π)時f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴當b=0時滿足題意．
（2）①f′(x)=

-bcos2x+2(1-2b)cosx+1-4b

(2+cosx)2

△=4[（1-2b）²+b（1-4b）]=4（1-3b）
若△≤0，即b≥

1

3

，則f'（x）≤0對?x≥0恒成立，這時f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴f（x）≤f（0）=0，
②若b＜0，則當x≥0時，-bx∈[0，+∞），

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]，f(x)=

sinx

2+cosx

-bx不可能恒小于等于0，
③若b=0，則f(x)=

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]不合題意，
④若0＜b＜

1

3

，
則f′(0)=

1-3b

3

＞0，f'（π）=-b-1＜0，
∴?x₀∈（0，π），使f'（x₀）=0，x∈（0，x₀）時，f'（x）＞0，
這時f（x）遞增，f（x）＞f（0）=0，不合題意，
綜上b∈[

1

3

，+∞)．

點評：導數解三角函數題目，不僅方法新穎，而且簡單易懂，便于掌握．常見的三角函數有關的極（最）值、三角函數的單調性若能從導數這一角度去考慮將給我們展示一種全新的視野．