Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD．
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化．面與面所成的二面角恒大于90°．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是棱柱、棱錐、棱臺的體積及二面角的度量．（1）由PB⊥平面ABCD，我們易得∠PAB是面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，∠PAB=60°代入易得到VP-ABCD=

1

3

•

3

a•a2=

3

3

a3（2）由于棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形．作AE⊥DP，垂足為E，連接EC，則△ADE≌△CDE．∴AE=EC，∠CED=90°，故∠CFA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角．解三角形AEC可得
∠CFA的余弦值小于0，故面與面所成的二面角恒大于90°

解答：解（1）∵PB⊥平面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，∴PA⊥DA
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，∠PAB=60°
而PB是四棱錐P-ABCD的高，PA=AB•tan60°=

3

a
∴VP-ABCD=

1

3

•

3

a•a2=

3

3

a3
證明：（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形．
作AE⊥DP，垂足為E，連接EC，則△ADE≌△CDE．
∴AE=EC，∠CED=90°，故∠CFA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角．
設AC與DB相交于點O，連接EO，則EO⊥AC．

2

2

a=OA＜AE＜AD=a
在△AEC中，cos∠AEC=

AE2+EC2-(2•OA)2

2AE•EC

=

(AE+ 2 OA)(AE- 2 OA)

AE2

＜0
所以，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

點評：求這個四棱錐的體積，關鍵是要根據已知條件求出底面面積和棱錐的高，然后代入棱錐體積公式計算；證明無論四棱錐的高怎樣變化．面與面所成的二面角恒大于90°，即證明二面角對應的平面角余弦值小于0．