【題目】已知函數
.
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)已知
, 
(其中
是自然對數的底數), 求證：
.
【答案】(1) 增區間是(0,e), 減區間是
；(2)證明見解析.
【解析】試題分析：
（1）函數的定義域為
，求解導函數可得
，
利用導函數與原函數的單調性的關系可得f(x)的增區間是(0,e), 減區間是.
（2）利用分析法，由于
，則兩邊取對數，原問題等價于證明:
，即
.結合(1)中函數的單調性可得該不等式明顯成立，故原命題得證.
試題解析：
（1）函數的定義域為，且，
∴當
時,
, ∴函數
在上是單調遞減.
當0<x<e時,
, ∴函數在(0,e)上是單調遞增.
∴f(x)的增區間是(0,e), 減區間是.
（2）∵∴要證: 
，
只需兩邊取對數證明:.
只需證. (∵
)，
由（1）得函數在上是單調遞減.
∴當時,有
，即. 原命題得證.
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【題目】已知圓M的方程為x 2+（y-2）2=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）若P點的坐標為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點，當
時，求直線CD的方程；
（3）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．
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【題目】如圖，四邊形ABCD是圓柱OO′的軸截面，點P在圓柱OO′的底面圓周上，圓柱OO′的底面圓的半徑OA=1，側面積為2π，∠AOP=60°．
（1）求證：PB⊥平面APD；
（2）是否存在點G在PD上，使得AG⊥BD；并說明理由．
（3）求三棱錐D-AGB的體積．
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【題目】將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內部）繞OO1旋轉一周形成圓柱，如圖，AC長為 
π，A1B1長為 
，其中B1與C在平面AA1O1O的同側．
（1）求三棱錐C﹣O1A1B1的體積；
（2）求異面直線B1C與AA1所成的角的大小．
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【題目】已知函數f(x)＝ex－x2＋2ax.
(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)若f(x)在R上單調遞增，求實數a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，
，
分別為橢圓的左、右焦點，過的直線
與相交于
、
兩點，
的周長為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上存在點
，使得四邊形
為平行四邊形，求此時直線的方程．
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【題目】已知橢圓 C:
離心率
，短軸長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）如圖，橢圓左頂點為A，過原點O的直線
（與坐標軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點．試問以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．
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