Question

【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關于軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是，雙曲線的左、右頂點、是該圓與軸的交點，雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點．

（1）試求雙曲線的標準方程；

（2）記雙曲線的左、右焦點為、，試在“8”字形曲線上求點，使得是直角．

Answer 1

【答案】（1）=1,（2）（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）．

【解析】

試題 由于上半個圓所在圓方程是，令，求出，得雙曲線的頂點，可知，又雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點，令，雙曲線過點，滿足雙曲線方程，待定系數法求出雙曲線方程；第二步由于點滿足是直角，則點在以為圓心半徑為的圓上，滿足,把圓的方程與雙曲線方程聯立解出交點坐標，由于與上下兩圓弧無交點，所以交點只有求出的四個 .

試題解析：（1）設雙曲線的方程為，在已知圓的方程中，令，

得，即，則雙曲線的左、右頂點為、，于是,令，可得，解得，即雙曲線過點，則所以，

所以所求雙曲線方程為.

（2）由（1）得雙曲線的兩個焦點，,當時，設點，

①若點在雙曲線上，得，由，有則，

由，解得所以

②若點在上半圓上，則，由，得，

由無解.

綜上，滿足條件的點有4個，分別為.