Question

某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y＝＋10(x－6)². 其中3<x<6，a為常數. 已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

 

Answer 1

【答案】

(1) a＝2   (2) x＝4

【解析】本試題主要考查了函數的運用，。

解：(Ⅰ)因為x＝5時，y＝11，所以，＋10＝11，a＝2.      ……………3分

(Ⅱ)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)²，

所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為

f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)²]＝2＋10(x－3)(x－6)²，（3<x<6）    ………5分

從而，f′(x)＝10[(x－6)²＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，

令f′(x)＝0，得x=4或x=6（舍去）.             ………………………6分

因為當x∈(3，4)時，f′(x)>0，當x∈(4，6)時，f′(x)<0，

所以f (x)在(3，6)取得唯一的極大值，也就是最大值， ……………………10分

所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.      …………11分

答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.