Question

已知定義在R上的函數(shù)(a，b，c，d為實(shí)常數(shù))的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x＝1時(shí)f(x)取得極值.
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的解析式；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意∈[－1，1]，不等式成立；
（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間(1，∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）見(jiàn)解析（3）(－∞，1]

（Ⅰ）因?yàn)?i>f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即d＝0.（1分）
又，即，則b＝0.
所以，.                                      
因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)f(x)取得極值，則，且.
即，故.              
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823132830211610.gif" style="vertical-align:middle;" />，則當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，.
所以f(x)在[－1，1]上是減函數(shù).                                              
所以當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，，.              
故當(dāng)∈[－1，1]時(shí)，.                        
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823132829962607.gif" style="vertical-align:middle;" />，則，.      
由，得，即，即.
所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，從而在處取極小值.                                                                     
又，若函數(shù)在區(qū)間(1，∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，則，所以，即m≤1.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1].