Question

已知一非零向量列{a_n}滿足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=
（1）證明：{|a_n|}是等比數列；
（2）設θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）設c_n=|a_n|log₂|a_n|，問數列{c_n}中是否存在最小項？若存在，求出最小項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用向量模的計算公式得出的表達式，發現得出=利用等比數列定義判定是等比數列．
（2）根據向量夾角公式可以求出θ_n=，b_n=2nθ_n-1=．分組后結合等差數列求和公式計算．
（3）由上可得出c_n=•，可利用作商法研究數列{c_n}的單調性，確定最小項存在與否．
解答：解：（l）證明：=
==（n≥2）又= 
∴數列是以為首項，公比為的等比數列．…（4分）
（2）∵===²
∴cosθ_n==，∴θ_n=，∴b_n=2nθ_n-1=．
Sn=b₁+b₂+…+b_n==…（8分）
（3）假設存在最小項，不防設為cn，∵==，
∴c_n=|a_n|log₂|a_n|=•，由c_n≤c_n+1 得≤
即（2-n）≤1-n，∴（-1）n≥2-1．
∴n≥=3+，∵n為正整數，∴n≥5．
由c_n≤c_n-1 得n≤4+，n≤5．，∴n=5
 故存在最小項，最小項為c₅=…（12分）
點評：本題考查數列的函數性質，等比數列的判定，數列求和，向量數量積、夾角的計算，是數列與不等式的綜合．所涉及的知識、方法均為高中學段基本要求．