Question

對于定義域為的函數，若有常數M，使得對任意的，存在唯一的滿足等式，則稱M為函數f (x)的“均值”．
（1）判斷1是否為函數≤≤的“均值”，請說明理由；
（2）若函數為常數）存在“均值”，求實數a的取值范圍；
（3）若函數是單調函數，且其值域為區間I．試探究函數的“均值”情況（是否存在、個數、大小等）與區間I之間的關系，寫出你的結論（不必證明）．
說明：對于（3），將根據結論的完整性與一般性程度給予不同的評分

Answer 1

解：（1）對任意的，有，
當且僅當時，有，     
故存在唯一，滿足，             ……………………2分
所以1是函數的“均值”．           ……………………4分
(另法：對任意的，有，令，
則，且，     
若，且，則有，可得，
故存在唯一，滿足，             ……………………2分
所以1是函數的“均值”．           ……………………4分）
（2）當時，存在“均值”，且“均值”為；…………5分
當時，由存在均值，可知對任意的，
都有唯一的與之對應，從而有單調，
故有或，解得或或，        ……………………9分
綜上，a的取值范圍是或．　　　　　　　　　  ……………………10分
（另法：分四種情形進行討論）
（3）①當I 或時，函數存在唯一的“均值”．
這時函數的“均值”為；　                    …………………12分
②當I為時，函數存在無數多個“均值”．
這時任意實數均為函數的“均值”；       　　　　　……………………14分
③當I 或或或或或時，
函數不存在“均值”．    　　　　　　　　　　　　　……………………16分
[評分說明：若三種情況討論完整且正確，但未用等價形式進行敘述，至多得6分；若三種情況討論不完整，且未用等價形式敘述，至多得5分]
①當且僅當I形如、其中之一時，函數存在唯一的“均值”．
這時函數的“均值”為；　                   ……………………13分
②當且僅當I為時，函數存在無數多個“均值”．
這時任意實數均為函數的“均值”；       　　　　　……………………16分
③當且僅當I形如、、、、、其中之一時，函數不存在“均值”．    　　　　　　　　　　　　　……………………18分
（另法：①當且僅當I為開區間或閉區間時，函數存在唯一的“均值”．這時函數的均值為區間I兩端點的算術平均數；                    ……………………13分
②當且僅當I為時，函數存在無數多個“均值”．這時任意實數均為函數的“均值”；                                      ……………………16分
③當且僅當I為除去開區間、閉區間與之外的其它區間時，函數不存在“均值”．                                             ……………………18分）
[評分說明：在情形①與②中，等價關系敘述正確但未正確求出函數“均值”，各扣1分]

略