Question

已知定義域為[0，1]的函數f(x)同時滿足：

(1)對于任意x∈[0，1]，總有f(x)≥0；

(2)f(1)＝1

(3)若x₁≥0，x₂≥0，x₁＋x₂≤1，則有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)

(Ⅰ)試求f(0)的值；

(Ⅱ)試求函數f(x)的最大值；

(Ⅲ)試證明：滿足上述條件的函數f(x)對一切實數x，都有f(x)≤2x．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)令， 　　依條件(3)可得f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0 　　又由條件(1)得f(0)≥0，則f(0)＝0 　　(Ⅱ)任取，可知， 　　則， 　　即，故 　　于是當0≤x≤1時，有f(x)≤f(1)＝1 　　因此，當x＝1時，f(x)有最大值為1， 　　(Ⅲ)證明： 　　研究①當時，f(x)≤1＜2x 　　②當時， 　　首先，f(2x)≥f(x)＋f(x)＝2f(x)，∴ 　　顯然，當時， 　　成立 　　假設當時，有成立，其中k＝1，2，… 　　那么當時， 　　 　　可知對于，總有，其中n＝1，2，… 　　而對于任意，存在正整數n，使得， 　　此時， 　　③當x＝0時，f(0)＝0≤2x 　　綜上可知，滿足條件的函數f(x)，對x∈[0，1]，總有f(x)≤2x成立