Question

直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.

（1）求證：直線AB1⊥平面A1BD.

（2）求二面角A-A1D-B正弦值的大小.

 

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角A-A1D-B正弦值為.

【解析】

試題分析：（1）建立如下圖的空間坐標系，要證直線AB1⊥平面A1BD，只需證明

即可.（2）先求出平面A1AD的一個法向量，再用向量夾角公式求二面角A-A1D-B正弦值.

試題解析：(1)取BC中點O，連接AO,

∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC，

∵直棱柱ABC-A1B1C1,∴平面ABC⊥平面BCC1B1且相交于BC,

∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中點O1,則OO1∥BB1,∴OO1⊥BC.

以O為原點，如圖建立空間直角坐標系O-xyz,

則B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A1(0,2,)A(0,0,),B1(1,2,0),C(-1,0,0),

∴

∴直線AB1⊥平面A1BD. 6分

(2)設平面A1AD的一個法向量為

n=(x,y,z).

∵

∴令z=1得n=(-,0,1)為平面A1AD的一個法向量.

由(1)知為平面A1BD的法向量.

∴

∴二面角A-A1D-B正弦值的大小為. 12分

考點：空間向量、直線與平面的位置關系.