Question

(本小題滿分12分)
已知A（-3，0），B（3，0），三角形PAB的內切圓的圓心M在直線上移動。
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）某同學經研究作出判斷，曲線C在P點處的切線恒過點M，試問：其判斷是否正確？若正確，請給出證明；否則說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）此同學的判斷是正確的，證明見解析

（Ⅰ）設，三角形PAB的內切圓M與PA、PB、AB的切點分別為
E、F、H，則

P點的軌跡C為以A、B為焦點的雙曲線的右支（除去頂點）
曲線C的方程為
（Ⅱ）此同學的判斷是正確的
設P點處曲線的切線交軸于點Q，下證：PQ平分
不妨設
當時，曲線C滿足，
則曲線C在點P處的切線的斜率
直線PQ的方程為
取，得                                    又
，即PQ平分PQ恒過點M，得證