Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）對a∈(0，1)，是否存在實數λ，，使成立，若存在，求λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一見解析（2）存在，.

【解析】

（1）求函數導數，分三種情況，分析與的關系，即可求出函數的單調區間；

（2）由題意轉化為且，利用導數求出，，即轉化為，構造函數，利用導數可求出，即可求解.

（1）的定義域為，

，

①當a=0時，，

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

②當a>0時，， ，

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

③當a<0時，，

所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由，得，當時，時，，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，故當時，

當時，，由（1）知，當時，

所以，

若對使成立，即

則且.

所以，所以 .

設，則，

令則，

當時，由，故，

所以，故，

所以在[0,1]上單調遞減，

所以時，，即,

又時, ,

所以當時，單調遞減，

所以當時，，

即時，，故.

所以當時，對

使成立.