Question

如圖，矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，是的中點.

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面⊥平面.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）要證線面平行，只須在平面內找到一條直線與這條直線平行，對本小題來說，連接交于點，由三角形的中位線定理可證得，問題得證；（2）要證面面垂直，只要在其中一個平面內找到一條直線與另一個平面垂直即可，由四邊形為正方形且為對角線的中點，所以有，故可考慮證明平面，故需要在平面內再找一條直線與垂直即可，由平面平面，交線為且，從而平面，可得，從而問題得證.

試題解析：（1）連接交于,連接

在三角形中，，分別為和的中點

所以∥． 2分

又平面，平面

所以∥平面 4分

（2）因為矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直

平面平面=，，

所以

又，所以 6分

又因為，是的中點，所以

又，所以 7分

由，所以平面⊥平面 8分.

考點：1.線面平行的證明；2.面面垂直的判定與性質.