Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+2sinθ=0，曲線C的參數(shù)方程為

x=4cosα y=2sinα

（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意直接根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化規(guī)則及參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化的規(guī)則即可得到直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線l與曲線C的方程，解出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式求出線段AB的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+2sinθ=0，曲線C的參數(shù)方程為

x=4cosα y=2sinα

（α為參數(shù)）．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+2y=0，曲線C的普通方程為

x2

16

+

y2

4

=1（5分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程組

x+2y=0 x2 16 + y2 4 =1

解得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2

2

，

2

）和（2

2

，-

2

），
∴|AB|=

(4 2 )2+(2 2 )2

=2

10

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的參數(shù)方程及簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互化的規(guī)則