Question

甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在編號為1～10的10道試題中，甲能答對編號為1～6的6道題，乙能答對編號為3～10的8道題，規定每位考生都從備選題中抽出3道試題進行測試，至少答對2道才算合格，
（1）求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望；
（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．

Answer 1

分析：（1）ξ的取值為0，1，2，3，然后利用等可能事件的概率公式分別求出相應的概率公式，列出分布列，最后根據數學期望的公式解之即可；
（2）分別求出甲與乙考試合格的概率，然后根據互斥事件與對立事件概率公式解之即可．

解答：解：（1）由題意，ξ的取值為0，1，2，3
P(ξ=0)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

；                           （1分）
P(ξ=1)=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

；                          （2分）
P(ξ=2)=

C 1 4 C 2 6

C 3 10

=

1

2

；                          （3分）
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．                              （4分）

ξ	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

所以ξ的分布列為                                                                                （5分）
Eξ=1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．                             （6分）
（2）P（甲合格）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

2

3

；                      （8分）
P（乙合格）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

14

15

；                     （10分）
所求P=1-(1-

2

3

)(1-

14

15

)=

44

45

．                    （12分）

點評：本題主要考查了離散型隨機變量的數學期望及其分布列，以及等可能事件的概率，同時考查了計算能力，屬于中檔題．