Question

（2012•石景山區一模）如圖，已知平面α∩β=l，A、B是l上的兩個點，C、D在平面β內，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一個動點P，使得∠APD=∠BPC，則P-ABCD體積的最大值是（　　）

• A．24

  3

• B．16
• C．48
• D．144

Answer 1

分析：本題需要借助直二面角的相關知識研究三角形的幾何特征，由題設條件知兩個直角三角形△PAD與△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足為D，令AD=t，將四棱錐的體積用t表示出來，由二次函數求最值可得出正確選項．

解答：解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足為M，則PM⊥β，令AM=t∈R，在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中，PM是公共邊及PB=2PA，∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t2

，即四棱錐的高為

12-4t-t2

，底面為直角梯形，S=

1

2

×(4+8)×6=36
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×36×

12-4t-t2

=12

16-(t+2)2

≤12×

16

=48，
即四棱錐P-ABCD體積的最大值為48，
故選C．

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，解答本題，關鍵是將由題設條件得出三角形的性質、：兩鄰邊的值有2倍的關系，第三邊長度為6，引入一個變量，從而利用函數的最值來研究體積的最值，是將幾何問題轉化為代數問題求解的思想，屬中檔題．