Question

設函數f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數f(x)e^x的一個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)的圖象是

Answer 1

D

解析試題分析：由y=f（x）e^x=e^x（ax²+bx+c）⇒y'=f'（x）e^x+e^xf（x）=e^x[ax²+（b+2a）x+b+c]，
由x=-1為函數f（x）e^x的一個極值點可得，-1是方程ax²+（b+2a）x+b+c=0的一個根，
所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．
法一：所以函數f（x）=ax²+bx+a，對稱軸為x=-，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．
對于A，由圖得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，
對于B，由圖得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，
對于C，由圖得a＜0，f（0）＜0，x=-＞0得到b＞0，f（-1）＜0不矛盾，
對于D，由圖得a＞0，f（0）＞0，x=-＜-1得到b＞2a，f（-1）＜0于圖中f（-1）＞0矛盾，D不對．
法二：得到函數f（x）=ax²+bx+a，由此得函數相應方程的兩根之積為1，對照四個選項發現，D不成立，故選 D．
考點：本題主要考查應用導數研究函數的極值，二次函數圖象和性質。
點評：易錯題，本題要求“不可能”為的圖象。研究函數的單調性、極值是導數的基本應用，方法明確，步驟規范。