Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a (a≥2), PA⊥平面ABCD.

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(1)問BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由

 (2)若PA=1，且BC邊上有且只有一個點Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角Q—PD—A的正切值.

Answer 1

（1）存在唯 一點Q滿足（2）

解析:

（1）假設存在符合條件的點Q, 連AQ, 因PA⊥平面ABCD,

則AQ是PQ在平面ABCD上的射影.由三垂線定理知

當時，因AB=1, 則以AD為直徑的圓與邊BC必交于

兩點, 這兩點滿足AQ⊥DQ, 也就是說BC邊上存在兩個點滿足

；

當時，因AB=1, 則以AD為直徑的圓與邊BC相切,切點Q滿足AQ⊥DQ, 即BC邊上存在唯 一點Q滿足；

（2）由(1)知, 此時BC=2，Q為BC中點. 因PA⊥平面ABCD, PA ?? 平面PAD, 則平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD.

取AD的中點G，連QG, 則QG⊥AD ?? QG⊥平面PAD,作于H, 連QH，則GH是QH在平面PAD上射影, 故是二面角Q—PD—A的平面角，在中，

，在Rt△ABC中,

即二面角Q—PD—A的正切值為.