Question

已知數列中，，且，其前項和為，且當時，．
⑴求證：數列是等比數列；
⑵求數列的通項公式；
⑶若，令，記數列的前項和為．設是整數，問是否存在正整數，使等式成立？若存在，求出和相應的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析
（2）
（3）

⑴當時，，
化簡得，
又由，可推知對一切正整數均有，
∴數列是等比數列．            ---------------- 4分
⑵由⑴知等比數列的首項為1，公比為，  ∴．
當時，，又，
∴              ----------8分
⑶當時，，此時

，
又，
∴
，
當時，

．
若，則等式為，不是整數，不符合題意．
若，則等式為，
是整數，∴是5的因數．
∴當且僅當時，是整數， ∴
綜上所述，當且僅當時，存在正整數，使等式成立．