Question

【題目】如圖，菱形與四邊形相交于，，平面，，，，為的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面，最后根據(jù)面面平行性質(zhì)得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)解方程組得面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求結(jié)果.

試題解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.

因?yàn)?/span>為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，所以為中點(diǎn).

又為中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.

又因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn).

所以，又因?yàn)?/span>，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：連接.

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)，則由，得，.

又因?yàn)?/span>，所以.

則在直角中，，所以.

由平面，，得平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

則，.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則即.

令，得，所以.

又，

所以.

設(shè)直線與平面所成角為，則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.