Question

已知函數f(x)＝(ax²＋x)e^x，其中e是自然數的底數，a∈R.
(1)當a<0時，解不等式f(x)>0；
(2)若f(x)在[－1，1]上是單調函數，求a的取值范圍；
(3)當a＝0時，求整數k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．

Answer 1

（1）（2）（3）{－3，1}

(1)因為e^x>0，所以不等式f(x)>0即為ax²＋x>0.
又a<0，所以不等式可化為x <0，所以不等式f(x)>0的解集為.
(2)f′(x)＝(2ax＋1)e^x＋(ax²＋x)e^x＝[ax²＋(2a＋1)x＋1]e^x，
①當a＝0時，f′(x)＝(x＋1)e^x，f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，當且僅當x＝－1時取等號，故a＝0符合要求；
②當a≠0時，令g(x)＝ax²＋(2a＋1)x＋1，因為Δ＝(2a＋1)²－4a＝4a²＋1>0，所以g(x)＝0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，不妨設x₁>x₂，因此f(x)有極大值又有極小值．若a>0，因為g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)內有極值點，故f(x)在[－1，1]上不單調．若a<0，可知x₁>0>x₂，因為g(x)的圖象開口向下，要使f(x)在[－1，1]上單調，因為g(0)＝1>0，必須滿足即所以－≤a≤0.綜上可知，a的取值范圍是.
(3)當a＝0時，方程即為xe^x＝x＋2，由于e^x>0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等價于e^x－－1＝0.
令h(x)＝e^x－－1，因為h′(x)＝e^x＋>0對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)內是單調增函數，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e²－2>0，h(－3)＝e^－3－<0，h(－2)＝e^－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有兩個實數根，且分別在區間[1，2]和[－3，－2]上，所以整數k的所有值為{－3，1}