Question

【題目】如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬為，要求通行車輛限高，隧道全長為，隧道的拱線可近似的看成半個橢圓形狀．

（1）若最大拱高為，則隧道設計的拱寬是多少？

（2）若最大拱高不小于，則應如何設計拱高和拱寬，才能使隧道的土方工程量最小？

（注： 1.半個橢圓的面積公式為；2.隧道的土方工程量=截面面積隧道長）

Answer 1

【答案】（1）32；（2）當拱高為，拱寬為時，土方工程量最小．

【解析】

試題分析：本題是橢圓的實際應用題，考查利用橢圓標準方程解應用題．（1）以車道中點為原點，建立直角坐標系，則在橢圓上，這時橢圓方程可設為，由及點坐標可求得橢圓中的，從而得結論；（2）隧道的土方工程量最小即半橢圓的面積最小，即橢圓的面積為最小，利用標準方程及基本不等式可求得的最小值．

試題解析：（1）以車道中點為原點，建立直角坐標系，則，

設橢圓的方程為，則解之得：，

此時．

（2）由，可知，

故，所以，

當且僅當時取等號，

答：當拱高為，拱寬為時，土方工程量最小．