Question

已知在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點．

(Ⅰ)求異面直線CC₁和AB的距離；
(Ⅱ)若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁－CD－B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)； (Ⅱ).

試題分析：(Ⅰ) 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, AC＝BC＝3，D為AB的中點，易知CD⊥AB.又側棱垂直底面，從而有CC₁⊥CD，即CD為異面直線CC₁和AB的距離，計算其長度即可；(Ⅱ)易證CD垂直于側面，從而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁為所求的二面角A₁－CD－B₁的平面角．再根據相關條件求出△A₁DB₁各邊，從而利用余弦定理求出所求角的余弦值即可.
試題解析：(Ⅰ)因AC＝BC，D為AB的中點，故CD⊥AB.
又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，所以異面直線CC₁和AB的距離為CD＝＝.
5分
(Ⅱ)由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥面A₁ABB₁，從而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁為所求的二面角A₁－CD－B₁的平面角．                              8分
又CD⊥，AB₁⊥A₁C，所以AB₁⊥平面,從而，都與互余，因此，所以∽，因此＝，得.從而A₁D＝＝2，B₁D＝A₁D＝2，
所以在△A₁DB₁中，由余弦定理得.       12分