Question

已知函數f(x)＝alnx＋bx,且f(1)＝－1，f′(1)＝0，
⑴求f(x)；
⑵求f(x)的最大值；
⑶若x＞0,y＞0,證明：lnx＋lny≤.

Answer 1

（1）f(x)＝lnx－x
（2）最大值為－1
（3）證明見解析。

本題主要考查函數、導數的基本知識、函數性質的處理以及不等式的綜合問題，同時考查考生用函數放縮的方法證明不等式的能力．
⑴由b＝ f(1)＝－1, f′(1)＝a＋b＝0, ∴a＝1,∴f(x)＝lnx－x為所求；……………4分
⑵∵x＞0,f′(x)＝－1＝,

x	0＜x＜1	x＝1	x＞1
f′(x)	＋	0	－
f(x)	↗	極大值	↘

 
∴f(x)在x＝1處取得極大值－1，即所求最大值為－1；……………8分
⑶由⑵得lnx≤x－1恒成立，
∴lnx＋lny＝＋≤＋＝成立………12分