Question

設函數f（x）=2sin²(ωx+

π

4

)+2cos2ωx(ω＞0)的圖象上兩個相鄰的最低點之間的距離為

2π

3

（1）求函數f（x）的最大值，并求出此時x的值；
（2）若函數g（x）的圖象是由f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位長度，再沿y軸對稱后得到的，求函數g（x）的單調減區間．

Answer 1

分析：（1）函數解析式兩項利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后根據函數圖象上兩個相鄰的最低點之間的距離求出周期，利用周期公式求出ω的值，即可求出f（x）的最大值，以及此時x的值；
（2）利用平移規律，以及對稱性質求出g（x）解析式，找出單調減區間即可．

解答：解：（1）f（x）=1-cos（2ωx+

π

2

）+1+cos2ωx=2-sin2ωx+cos2ωx=2-

2

sin（2ωx-

π

4

），
∵函數圖象上兩個相鄰的最低點之間的距離為

2π

3

，
∴2ω=3，即ω=

3

2

，
∴f（x）=2-

2

sin（3x-

π

4

），
則當3x-

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=

2

3

kπ-

π

4

，k∈Z時，f（x）的最大值為2+

2

；
（2）根據題意得：g（x）=2-

2

sin（-3x-

5π

8

）=2+

2

sin（3x+

5π

8

），
令2kπ+

π

2

≤3x+

5π

8

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得到

2

3

kπ-

1

24

π≤x≤

2

3

kπ+

7

24

π，k∈Z，
則g（x）的單調減區間為[

2

3

kπ-

1

24

π，

2

3

kπ+

7

24

π]，k∈Z．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及三角函數的平移規律及對稱規律，熟練掌握公式是解本題的關鍵．