Question

【題目】已知函數.

（1）若時，函數的圖像恒在直線上方，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先由題意得到當時，恒成立，即恒成立，再令，，用導函數方法研究其單調性，得到其最值，即可得出結果；

（2）根據數學歸納法的一般步驟，結合（1）的結果，即可證明結論成立.

（1）當時，函數的圖像恒在直線上方，

等價于當時，恒成立，

即恒成立，

令，，則

當時，，故在上遞增，

當時，，故在上遞減，

∴為在區間上的極小值，僅有個極值點故為最小值，

∴時，

所以實數的取值范圍是 ；

（2）證明：

①當時，由，知成立；

②假設當時命題成立，即

那么，當時，

下面利用分析法證明：

要證上式成立，只需證：

只需證：

令，只需證：，

只需證：，

由（1）知當時，恒成立.

所以，當時，也成立，

由①②可知，原不等式成立.