Question

【題目】已知函數f（x）=sinx﹣x，若f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0對任意的θ∈（0， ）恒成立，則實數m的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[﹣ ，+∞）
【解析】解：由f（x）=sinx﹣x可知，f（x）定義域為R，且為奇函數；
∵f'（x）=cosx﹣1≤0，則f（x）在R上單調遞減；
f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0 即：f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）；
根據函數單調性有：cos2θ+2msinθ＜2m+2 ①；
sinθ=t∈（0，1），1﹣t＞0，①式則：1﹣t2+2mt＜2m+2；
﹣1﹣t2＜2m（1﹣t）；
m＞ =﹣ [（1﹣t）+ ﹣2]
∵u=（1﹣t）+ ﹣2 在（0，1）上單調遞減，u（0）=1
∴m ﹣
所以答案是：[﹣ ，+∞）
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．