Question

（理）已知⊙：和定點(diǎn)，由⊙外一點(diǎn)向⊙引切線，切點(diǎn)為，且滿足．
(1)求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系；
(2)求線段長(zhǎng)的最小值；
(3)若以為圓心所作的⊙與⊙有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)的⊙方程．

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）連接OP,OQ，

則，在中，，且 ，結(jié)合兩點(diǎn)之間距離公式可得關(guān)于的等式；（2）在中，，是含有的二元函數(shù)，結(jié)合（1）可得關(guān)于的一元函數(shù)，求其最小值即可；（3）方法一：因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024713230289.png" style="vertical-align:middle;" />與⊙有公共點(diǎn)，則得圓心距和其半徑的關(guān)系即，要求半徑的最小值，只需最小，將用兩點(diǎn)之間距離公式表示出來，求其最小值并求取的最小值時(shí)，得⊙的圓心，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；方法二：由（1）知⊙的圓心的軌跡方程為：，過點(diǎn)作垂直于的垂線，垂足為，當(dāng)兩圓外切且以為圓心時(shí)，半徑最小，此時(shí)，兩條直線求交點(diǎn)確定圓心，從而求出圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程.
試題解析：（1）連為切點(diǎn)，，由勾股定理有，又由已知，故.即：，化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：；（2）由，得，=
，故當(dāng)時(shí)，即線段PQ長(zhǎng)的最小值為 ；
（3）方法一：設(shè)圓P的半徑為，圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓O的半徑為1，即且，而，故當(dāng)時(shí)，此時(shí), ，，得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為．
方法二：圓與圓有公共點(diǎn)，圓 半徑最小時(shí)為與圓外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點(diǎn)與垂直的直線 與的交點(diǎn)， ,又：x－2y = 0,解方程組，得.即,∴所求圓方程為.