Question

如圖，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成．

(1)現有可圍36米長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

(2)若使每間虎籠面積為24 m²，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最小？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設每間虎籠長為x米，寬為y米，則由條件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18． 　　設每間虎籠的面積為S，則S＝xy． 　　方法一：由于2x＋3y≥2＝2， 　　∴2≤18，得xy≤，即S≤． 　　當且僅當2x＝3y時等號成立． 　　由解得 　　故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使面積最大． 　　方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y． 　　∵x＞0，∴0＜y＜6．S＝xy＝(9－y)y＝(6－y)y． 　　∵0＜y＜6，∴6－y＞0．∴S≤[]2＝． 　　當且僅當6－y＝y，即y＝3時，等號成立，此時x＝4.5.故每間虎籠長4.5 m，寬3 m時，可使面積最大． 　　(2)由條件知S＝xy＝24．設鋼筋總長為l，則l＝4x＋6y． 　　方法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24， 　　∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，當且僅當2x＝3y時等號成立． 　　由解得 　　故每間虎籠長6 m，寬4 m時，可使鋼筋總長最小． 　　方法二：由xy＝24，得x＝． 　　∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6(＋y)≥6×＝48，當且僅當＝y，即y＝4時，等號成立，此時x＝6． 　　故每間虎籠長6 m，寬4 m時，可使鋼筋總長最小． 　　思路解析：設每間虎籠長為x m，寬為y m，則問題(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而問題(2)則是在xy＝24的前提下來求4x＋6y的最小值．因此，使用極值定理解決．

提示：

在使用極值定理求函數的最大值或最小值時，要注意： 　　(1)x，y都是正數； 　　(2)xy(或x＋y)為定值； 　　(3)x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據條件構造滿足上述三個條件的結論．