Question

已知函數f（x）=msinx+ncosx，且是它的最大值，（其中m、n為常數且mn≠0）給出下列命題：
①是偶函數；
②函數f（x）的圖象關于點對稱；
③是函數f（x）的最小值；
④記函數f（x）的圖象在y軸右側與直線的交點按橫坐標從小到大依次記為P₁，P₂，P₃，P₄，…，則|P₂P₄|=π
⑤．
其中真命題的是    （寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

【答案】分析：由題意可得f（x）= sin（x+ ），對于①，由于 =cosx，是偶函數，故①正確．
對于②，由于當x=時，f（x）=0，故②正確．
對于③，由于 =-，是 函數f（x）的最小值，故 ③正確．
對于④，由題意可得，|P₂P₄|等于一個周期2π，故 ④不正確．
對于⑤，由tan∅=tan（2kπ+ ）==1，可得⑤正確．
解答：解：由于函數f（x）=msinx+ncosx= sin（x+∅），且是它的最大值，
∴+∅=2kπ+，k∈z，∴∅=2kπ+，∴tan∅==1．
∴f（x）= sin（x+2kπ+）= sin（x+ ）．
對于①，由于 = sin（x++ ）=cosx，是偶函數，故①正確．
對于②，由于當x=時，f（x）=0，故函數f（x）的圖象關于點對稱，故②正確．
對于③，由于  = sin（- ）=-，是 函數f（x）的最小值，故 ③正確．
對于④，函數f（x）的圖象即把函數 y=sinx的圖象向左平移 個單位得到的，故|P₂P₄|等于
一個周期2π，故 ④不正確．
對于⑤，由tan∅==1，可得⑤正確．
 故答案為：①②③⑤．
點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數的最值，對稱性，奇偶性，函數圖象的變換，得到 f（x）=
 sin（x+ ），是解題的關鍵．