Question

已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90？的二面角的大小；
（Ⅲ）求點A到平面BCD的距離的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意可得：DE⊥平面ACD，所以DE⊥AF，又AF⊥CD，再結合線面垂直的判定定理可得答案．
（Ⅱ）建立空間坐標系，分別求出兩個平面的法向量，利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角．
（Ⅲ）設AB=x，則x＞0，根據題中的條件可得：平面ABF⊥平面BCD．連BF，過A作AH⊥BF，垂足為H，則AH⊥平面BCD，再利用解三角形的有關知識可得：∴AH=

3

3 x2 +1

，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，
∴DE⊥平面ACD，
∵AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD=CD，F為CD中點，
∴AF⊥CD．
∵DE?平面CDE，CD?平面CDE，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）如圖，以F為原點，過F平行于DE的直線為x軸，FC，FA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

∵AC=2，∴A（0，0，

3

），設AB=x，
所以B（x，0，

3

），C（0，1，0）
所以

.

AB

=（x，0，0），

.

AC

=（0，1，-

3

），
設平面ABC的一個法向量為

n

=（a，b，c），
則由

.

AB

?

n

=0，

.

AC

?

n

=0，得a=0，b=

3

c，不妨取c=1，
則

n

=（0，

3

，1）．
∵AF⊥平面CDE，∴平面CDE的一個法向量為（0，0，

3

）．
∴cos＜

n

，

.

FA

＞=

n• . FA

|n|•| . FA |

=

1

2

，
∴＜

n

，

.

FA

＞=60°．
∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．
（Ⅲ）設AB=x，則x＞0．∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．
又∵AF⊥CD，AB?平面ABF，AF?平面ABF，AB∩AF=A，
∴CD⊥平面ABF．

∵CD?平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD．
連BF，過A作AH⊥BF，垂足為H，則AH⊥平面BCD．
線段AH的長即為點A到平面BCD的距離．
在Rt△AFB中，AB=x，AF=

3

2

CD=

3

，
∴BF=

3+x2

，
∴AH=

3 x

3+x2

=

3

3 x2 +1

∈（0，

3

）．

點評：此題實質上是一個底面為直角梯形且有一個側面與底面垂直的四棱棱，通過圖形位置的變化，考查學生在新的幾何載體中，尋找發現線面之間的平行與垂直關系．第（Ⅱ）問把平行問題與作二面角的棱有機結合起來，通過二面角與點到平面距離的計算，考查學生計算能力，規范表示能力．