Question

（2013•鎮江二模）已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=

2

，|

b

|=1，且對一切實數x，|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|恒成立，則

a

與

b

的夾角大小為

3π

4

．

Answer 1

分析：由已知|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|利用模的計算公式得

a 2+2x a • b +x2 b 2

≥

a 2+2 a • b + b 2

，化為x2

b

2+2x

a

•

b

-2

a

•

b

-

b

2≥0，即x2+2

2

xcos＜

a

，

b

＞-2

2

cos＜

a

，

b

＞-1≥0，
由于對一切實數x，|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|（即上式）恒成立，必須滿足△=(2

2

cos＜

a

，

b

＞)2+4(2

2

cos＜

a

，

b

＞+1)≤0，解出即可．

解答：解：由|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|得

a 2+2x a • b +x2 b 2

≥

a 2+2 a • b + b 2

，化為x2

b

2+2x

a

•

b

-2

a

•

b

-

b

2≥0，
∵|

b

|=1，|

a

|=

2

．
∴x2+2

2

xcos＜

a

，

b

＞-2

2

cos＜

a

，

b

＞-1≥0，
∵對一切實數x，|

a

+x

b

|≥|

a

+

b

|（即上式）恒成立，
∴△=(2

2

cos＜

a

，

b

＞)2+4(2

2

cos＜

a

，

b

＞+1)≤0，化為(2

2

cos＜

a

，

b

＞+2)2≤0，
得cos＜

a

，

b

＞=-

2

2

，
∵＜

a

，

b

＞∈[0，π]，∴＜

a

，

b

＞=

3π

4

．
故答案為

3π

4

．

點評：熟練掌握向量模的計算公式、數量積運算、恒成立問題的等價轉化是解題的關鍵．