Question

某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A，B，C，D四個問題，規(guī)則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C，D分別加1分，2分，3分，6分，答錯任意題減2分；
②每答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當(dāng)累積分數(shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累積分數(shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；答完四題累計分數(shù)不足14分時，答題結(jié)束淘汰出局；
③每位參加者按A，B，C，D順序作答，直至答題結(jié)束．
假設(shè)甲同學(xué)對問題A，B，C，D回答正確的概率依次為

3

4

，

1

2

，

1

3

，

1

4

，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求甲同學(xué)能進入下一輪的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同學(xué)本輪答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，列舉甲能進入下一輪的五種情況，由于每題答題結(jié)果相互獨立，根據(jù)相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）由題意可知答對一個題或答錯一個題都不能決定甲的去留，所以最少答兩個題，隨機變量ξ可能的取值為2，3，4，由于每題的答題結(jié)構(gòu)都是相對獨立的，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)A，B，C，D分別是第一、二、三、四個問題，用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同學(xué)第i個問題回答正確，
用N_i（i=1，2，3，4）表示第i個問題回答錯誤，則M_i與N_i（i=1，2，3，4）是對立事件．由題意得P(M1)=

3

4

，P(M2)=

1

2

，P(M3)=

1

3

，P(M4)=

1

4

，
則P(N1)=

1

4

，P(N2)=

1

2

，P(N3)=

2

3

，P(N4)=

3

4

．
（Ⅰ）記“甲同學(xué)能進入下一輪”為事件Q，
則Q=M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N₃M₄
由于每題答題結(jié)果相互獨立，
∴P（Q）=P（M₁M₂M₃+N₁M₂M₃M₄+M₁N₂M₃M₄+M₁M₂N₃M₄+N₁M₂N₃M₄）
=P（M₁M₂M₃）+P（N₁M₂M₃M₄）+P（M₁N₂M₃M₄）+P（M₁M₂N₃M₄）+P（N₁M₂N₃M₄）=

3

4

•

1

2

•

1

3

+

1

4

•

1

2

•

1

3

•

1

4

+

3

4

•

1

2

•

1

3

•

1

4

+

3

4

•

1

2

•

2

3

•

1

4

+

1

4

•

1

2

•

2

3

•

1

4

=

1

4

（Ⅱ）由題意可知隨機變量ξ可能的取值為2，3，4，
由于每題的答題結(jié)果都是相對獨立的，
∵P(ξ=2)=P(N1N2)=

1

8

，
P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)= 

3

4

•

1

2

•

1

3

+

3

4

•

1

2

•

2

3

=

3

8

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-

1

8

-

3

8

=

1

2

∴Eξ=2×

1

8

+3×

3

8

+4×

1

2

=

27

8

．

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查相互獨立立事件、對立事件的概率和求解辦法，考查用概率知識解決實際問題的能力．