Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心為M（x₀，y₀），記函數f（x）的導函數為f′（x），f′（x）的導函數為f″（x），則有f″（x₀）=0．若函數f（x）=x³-3x²，則可求得：f（

1

4

）+f（

2

4

）+f（

3

4

）+f（

4

4

）+f（

5

4

）+f（

6

4

）+f（

7

4

）=

 

．

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011對-4和一個f（1）=-2，可得答案．

解答： 解：由題意f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，
故函數f（x）=x³-3x²關于點（1，-2）對稱，
即f（x）+f（2-x）=-4．
所以f（

1

4

）+f（

2

4

）+f（

3

4

）+f（

4

4

）+f（

5

4

）+f（

6

4

）+f（

7

4

）=3[f（

1

4

）+f（

7

4

）]+f（

4

4

）=3×（-4）-2=-14，
故答案為：-14

點評：本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．