Question

設數列{a_n}為各項均為1的無窮數列，若在數列{a_n}的首項a₁后面插入1，隔2項，即a₃后面插入2，再隔3項，即a₆后面插入3，…這樣得到一個新數列{b_n}，則數列{b_n}的前2010項的和為______．

Answer 1

新數列{b_n}形如：1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 4…
把11，112，1113，11114，…組合成新的數組，那么新數組的個數為2、3、4、5…n+1
即數列{b_n}的項數為：2+3+4+5+…+n+1
令2+3+4+5+…+n+1=2010，
∴

n(n+3)

2

=2010，
∴n（n+3）=4020，
∴n=62
因此數列{b_n}的2010項11，112，1113，••，

1111…111

62個

62，11111
因此數列{b_n}的前2010項和為：2+4+6+…+62×2+5=3911
故答案為：3911