Question

△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，且c=2a，求cosB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差關(guān)系的確定

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a+c=2b，再利用正弦定理及誘導(dǎo)公式變形即可得證；
（Ⅱ）由a，b，c成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，將三邊長(zhǎng)代入即可求出cosB的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
則sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
將c=2a代入得：b²=2a²，即b=

2

a，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-2a2

4a2

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．