Question

我國加入WTO后，根據達成的協議，若干年內某產品關稅與市場供應量P的關系允許近似的滿足：y=P(x)=2(1-kt)(x-b)2（其中t為關稅的稅率，且t∈[0，

1

2

)）．（x為市場價格，b、k為正常數），當t=

1

8

時的市場供應量曲線如圖
（1）根據圖象求k、b的值；
（2）若市場需求量為Q，它近似滿足Q(x)=211-

1

2

x．當P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格．為使市場平衡價格控制在不低于9元，求稅率t的最小值．

Answer 1

分析：第一問能根據圖象求出k、b的值．第二問能根據題意構造函數，并能在定義域內求函數的最小值．考查的知識綜合性較強，對學生理解題意的能力也是一個挑戰．

解答：解：（1）由圖可知，t=

1

8

時有

2(1- k 8 )(5-b)2=1 2(1- k 8 )(7-b)2=2

解得

k=6 b=5

（2）當P=Q時，得2(1-6t)(x-5)2=211-

1

2

x解得：t=

1

6

[1-

22-x

2(x-5)2

]=

1

6

[1-

17-(x-5)

2(x-5)2

]=-

1

12

[

17

(x-5)2

-

1

x-5

-2]
令m=

1

x-5

，∵x≥9，∴m∈[0，

1

4

]在t=-

1

12

[17m2-m-2]中
∴對稱軸m=

1

34

∈(0，

1

4

)且開口向下；
∴m=

1

4

時，t取得最小值

19

192

，此時x=9
∴稅率t的最小值為

19

192

．

點評：此題是個指數函數的綜合題，但在求解的過程中也用到了構造函數的思想及二次函數在定義域內求最值的知識．考查的知識全面而到位！