Question

如圖，如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）若PD與平面ABCD所成角為60°，且AD=2，AB=4，求點A到平面PED的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）取PC的中點O，連接OF，OE．由OF∥DC且，E是AB的中點，知AEOF是平行四邊形，由此能夠證明AF∥平面PEC．
（II）法一：設A平面PED的距離為d，由PA⊥平面ABCD，知∠PDA為PD與平面ABCD所成角，且∠PDA=60°，再由V_P-AED=V_A-PDE，能推導出點A到平面PED的距離．
法二：由PA⊥平面ABCD，知∠PDA為PD與平面ABCD所成角，且∠PDA=60°，得到，，由AB=4，E是AB的中點所以AE=2=AD，由平面PDE⊥平面PAH，能推導出點A到平面PED的距離．
解答：（I）證明：如圖，取PC的中點O，連接OF，OE．
由已知得OF∥DC且，
又∵E是AB的中點，則OF∥AE且OF=AE，∴AEOF是平行四邊形，
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（II）解法一：設A平面PED的距離為d，
因PA⊥平面ABCD，故∠PDA為PD與平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以，，
又因為AB=4，E是AB的中點所以AE=2，
，．
作PH⊥DE于H，因，
則，
則，
因V_P-AED=V_A-PDE
所以，
（Ⅱ）解法二：因PA⊥平面ABCD，故∠PDA為PD與平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以，，
又因AB=4，E是AB的中點所以AE=2=AD，
，．
作PH⊥DE于H，連接AH，因PD=PE=4，則H為DE的中點，故AH⊥DE
所以DE⊥平面PAH，所以平面PDE⊥平面PAH，作AG⊥PH于G，
則AG⊥平面PDE，所以線段AG的長為A平面PED的距離．
又，
所以．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和等積法的合理運用．