已知
，數列
的前
項和為
，點
在曲線
上
，且
，
.
（1）求數列的通項公式；
（2）數列
的前項和為
，且滿足
，
，求數列的通項公式；
（3）求證：
，
.
（1）
；（2）
；（3）詳見解析.
【解析】
試題分析：（1）先根據函數
的解析式，由條件“點
在曲線
上
”上得出
與
之間的遞推關系式，然后進行變形得到
，于是得到數列
為等差數列，先求出數列的通項公式，進而求出數列
的通項公式；（2）根據（1）中的結果結合已知條件得到
，兩邊同時除以
，得到
，構造數列
為等差數列，先求出數列的通項公式，然后求出
，然后由
與之間的關系求出數列
的通項公式；（3）對數列中的項進行放縮法
，再利用累加法即可證明相應的不等式.
試題解析：（1）
且
，∴
，
數列是等差數列，首項
，公差
，
，
，
；
（2）由，
，
得
，
，
數列
是等差數列，首項為
，公差為
，
∴
，
，當
時，
，
也滿足上式，
，
；
（3）
，
.
考點：1.構造等差數列求通項；2.定義法求通項公式；3.放縮法證明數列不等式
科目：高中數學 來源：2013-2014學年上海市十三校高三12月聯考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知無窮數列
的前
項和為
，且滿足
，其中
、
、
是常數.
（1）若
，
，
，求數列的通項公式；
（2）若
，
，
，且
，求數列的前項和；
（3）試探究、、滿足什么條件時，數列是公比不為
的等比數列.
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科目：高中數學 來源：2013屆北京市東城區高三12月聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知：數列
的前
項和為
，且滿足
，
.
（Ⅰ）求：
，
的值；
（Ⅱ）求：數列的通項公式；
（Ⅲ）若數列
的前項和為
，且滿足
，求數列的
前項和.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年江蘇省高三上學期學情調研數學試卷（12月3日） 題型：解答題
已知常數
數列
的前
項和為
，
且
（1）求證：數列為等差數列；
（2）若
且數列
是單調遞增數列，求實數
的取值范圍；
（3）若
數列
滿足：
對于任意給定的正整數
，是否存在
使
若存在，求
的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源：2010-2011吉林一中高一下學期期末數學 題型：選擇題
已知
記數列
的前
項和為
，即
，則使
的的最大值為
( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
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