Question

已知c＞0，設命題P：函數y=-c^-x為減函數；命題q：當x∈[

1

2

，3]時，函數f（x）=x+

1

x

＞

1

c

恒成立．如果p或q為真命題，p且q為假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：利用復合指數函數的單調性求命題P為真的c的范圍；先求f（x）的最小值，分析函數f（x）=x+

1

x

＞

1

c

恒成立的條件，然后解出命題q為真命題的c的范圍；
根據p或q為真命題，p且q為假命題，則P、q命題一真一假，求解．

解答：解：∵c＞0，y=-c^-x為減函數，∴0＜c＜1，
∵函數y=x+

1

x

在[

1

2

，1]遞減，在[1，3]上遞減，
∴在[

1

2

，3]上的值域是：y∈[2，

10

3

]，
∵y＞

1

c

恒成立，∴

1

c

＜2⇒c＞

1

2

∵p或q為真命題，p且q為假命題，∴P、q命題一真一假

∵c＞0，∴c≥1或0＜c≤

1

2

綜上 c∈{c|0＜c≤

1

2

或c≥1}

點評：本題考查復合命題的真假判定，要注意用數學結合進行數集的交、并、補運算．要注意端點能否取到，這是此類題的易錯點．