Question

已知向量a=（cosωx，sinωx），b=(cosωx，

3

cosωx)，其中0＜ω＜2．記f（x）=a•b．
（1）若f（x）的最小正周期為2π，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若函數f（x）圖象的一條對稱軸的方程為x=

π

6

，求ω的值．

Answer 1

分析：（1）先由向量數量積的坐標表示得出f（x），利用三角恒等變換公式對其進行化簡，然后根據f（x）的最小正周期為2π求出ω，得出函數解析式，再由正弦函數的性質求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）函數f（x）圖象的一條對稱軸的方程為x=

π

6

，郵三角函數圖象的性質知，當自變量為x=

π

6

時，函數取到最大值或最小值，由此關系建立方程求出ω的值．

解答：解：（1）f(x)=cos2(ωx)+

3

sin(ωx)cos(ωx)=

1+cos(2ωx)

2

+

3

2

sin(2ωx)=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

．
∵T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

，
∴f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

．
由-

π

2

≤x+

π

6

≤

π

2

得-

2π

3

≤x≤

π

3

．
故函數f（x）的單調遞增區間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

](k∈Z)．（8分）
（2）∵直線x=

π

6

是函數f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
得ω=3k+1．
又∵0＜ω＜2，
∴令k=0，得ω=1．（12分）

點評：本題考查三角函數恒等變換的運用，三角函數的對稱性，三角函數的單調性的求法，解題的關鍵是熟記三角恒等變換公式，熟練掌握三角函數的性質，本題知識性較強，在近年的高考題中多有出現．題后要注意總結此類題的做題規律．